Principio de Equivalencia

El principio de equivalencia es el principio físico de la relatividad general y de varias otras teorías métricas de la gravedad. El principio afirma que: "un sistema inmerso en un campo gravitatorio es puntualmente indistinguible de un sistema de referencia no inercial acelerado".1 Así fijado un determinado acontecimiento instantáneo de naturaleza puntual  (un evento o suceso) en el seno de un campo gravitatorio puede ser descrito por un observador acelerado situado en ese punto, como moviéndose libremente. Es decir, existe cierto observador acelerado que no tiene forma de distinguir si las partículas se mueven o no dentro de un campo gravitatorio.
Por ejemplo: si caemos tras una piedra desde un acantilado, la veremos descender con velocidad constante, exactamente igual que si no existiera el campo gravitatorio que nos hace caer. Lo mismo les ocurre a los astronautas en torno a su nave, donde les parece que todo flota como si no cayera hacia la Tierra siguiendo su órbita.

Este principio fue utilizado por Einstein para intuir que la trayectoria de las partículas en caída libre en el seno de un campo gravitatorio depende únicamente de la estructura métrica de su entorno inmediato o, lo que es igual, del comportamiento de los metros y los relojes patrones en torno suyo.
Formalmente suelen presentarse tres tipos de principio de equivalencia para formular las leyes del movimiento de los cuerpos:


  • Principio de Equivalencia de Galileo.
  • Principio de Equivalencia de Einstein.
  • Principio de Equivalencia Fuerte.


Principio de Equivalencia de Galileo 

La formulación débil se puede enunciar de la siguiente manera: "El movimiento de cualquier partícula de prueba en caída libre es independiente de su composición y estructura". Este principio se remonta al libro de Galileo Galilei Diálogos Sobre las Dos Nuevas Ciencias, en el cual Galileo narra que después de realizar varios experimentos con diferentes tipos de materiales, llega a la conclusión de que en un medio sin resistencia todos los cuerpos caen con la misma aceleración. Esto se puede ver de la siguiente manera, la Segunda Ley del Movimiento de Isaac Newton,


donde la masa inercial es la resistencia de un cuerpo a ser acelerado. Por otro lado, de la Ley de Gravitación Universal de Newton se cumple que:


Para un objeto en caída libre, es decir, sin más fuerzas actuando en él, se tiene la igualdad de ambas fórmulas:


por lo que el principio de equivalencia en forma débil especifica la igualdad entre las masas inercial y gravitacional, volviéndolas indistinguibles.


Esta formulación ha sido probada a gran precisión desde los experimentos de Eötvos y es uno de los principios más probados de la física.


Principio de Equivalencia de Einstein

 La idea base del Principio de Equivalencia de la Relatividad General es la equiparación entre aceleración y gravedad. Este Principio de Equivalencia, incorporado por la Relatividad General en 1916, sirvió a las teorías de Albert Einstein para justificar una segunda relatividad del tiempo independiente de la definida por la Relatividad Especial.

En otras palabras, los efectos sobre el tiempo y el espacio de la velocidad en la Teoría de la Relatividad Especial (RE) de Einstein se extienden al campo gravitatorio en la Teoría General de la Relatividad (RG)

La forma en que interactúa la gravedad con el espacio es mediante la deformación del mismo, se trata del conocido efecto geométrico de la curvatura del espacio-tiempo. Ahora ya no es suficiente con una geometría del espacio de cuatro dimensiones (como la geometría de Minkowsky de la RE) sino que es necesario curvar los propios ejes de esa geometría matemática para recoger el efecto de la gravedad sobre el espacio-tiempo o viceversa en la teoría de Einstein de 1916.



Principio de Equivalencia Fuerte

El principio de equivalencia fuerte se formula de la siguiente manera:
El movimiento gravitacional de un cuerpo de prueba depende únicamente de su posición inicial en el espacio tiempo y no de su constitución, y el resultado de cualquier experimento local, gravitacional o no, en un laboratorio moviéndose en un sistema de referencia inercial es independiente de la velocidad del laboratorio y de su localización en el espacio-tiempo.
Es decir, en un marco de referencia en caída libre, y en una vecindad lo suficientemente pequeña del espacio-tiempo, todas las leyes de la física obedecen las leyes de Relatividad Especial.
El principio de equivalencia fuerte sugiere que la gravedad es de naturaleza puramente geométrica (esto es, la métrica determina los efectos de la gravedad) y no contiene ningún campo adicional asociado con ella.


Consecuencias del Principio de Equivalencia 


  • Movimiento a lo largo de geodésicas

La Relatividad general, como teoría física de interacción que es, se compone de dos partes. La primera permite calcular, mediante la ecuación de Einstein, la curvatura del espacio-tiempo a partir de una distribución de energía. La segunda determina el movimiento de una masa prueba en un espacio-tiempo curvo, y es la ecuación de la geodésica.
El Principio de Equivalencia afirma que en un sistema de referencia en caída libre se anulan los efectos de la gravedad, y la física que allí se mida es coherente con la Relatividad especial. Desarrollando matemáticamente este enunciado se concluye que la trayectoria de una masa en un campo gravitatorio es una geodésica en el espacio-tiempo.
De este modo, se podría decir que el Principio de Equivalencia, junto con el Principio de relatividad especial son los únicos principios físicos sobre los que se apoya la Relatividad general, ya que la ecuación de Einstein no está basada en ningún principio, sino que está deducida de una manera heurística.

  • Anulación del campo gravitatorio
El principio de equivalencia establece la existencia de un sistema acelerado donde puntualmente el campo gravitatorio no se detecta, es decir, es puntualmente nulo. Ese sistema acelerado precisamente aquel en el que los símbolos de Christoffel de la métrica se anulan. Es decir, ese sistema de coordenadas donde el campo gravitatorio es puntualmente indetectable en el punto p, satisface que:


El hecho anterior junto con el hecho de que el lagrangiano debe ser un escalar físico independiente del sistema de referencia escogido, que el lagrangiano del campo gravitatorio no puede formarse exclusivamente a partir del tensor métrico g_{\mu\nu} y los símbolos de Christoffel \Gamma_{\mu\nu}^\rho, puesto que entonces debido a que este es nulo para el sistema de coordenadas considerado anteriormente, la variación sería idénticamente nula para todos los observadores, lo cual no tiene sentido físico.
  • Lagrangiano del campo gravitatorio
La posibilidad de elegir un sistema de referencia acelerado donde los símbolos de Christoffel sean nulos, implica implica que el lagrangiano del campo gravitatorio relativista debe estar formado por derivadas de orden superior a uno del tensor métrico y, por tanto, el principio de equivalencia implica que el lagrangiano debe ser algún escalar relacionado con la curvatura. En efecto, la forma más común de escribir el lagrangiano del campo gravitatorio es:


Donde R, g\, son la curvatura escalar y el determinante del tensor métrico, y la integral anterior se extiende sobre una cierta región del espacio-tiempo.
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