En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto (en inglés, dot product), es una operación binaria definida sobre dos vectores de un espacio euclídeano cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídeano tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclidiano real
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es u.v
Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.
Proyección de un vector sobre otro
Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es |A| cos θ = proy AB, será
de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.
Vectores paralelos o en una misma dirección
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.
Propiedades del Producto Escalar
- Conmutativa. A . B = B . A
- Distributiva. A . ( B + C ) = A . B + A . C
- Asociativa. m (A . B) = ( m A ) . B = A . (m B)