Sumar vectores
Podemos servirnos del paralelogramo que consiste en colocar los dos vectores de modo que sus orígenes coincidan siendo los otros dos lados del paralelogramo las paralelas a cada uno de ellos:
Siendo a y b los vectores a sumar los unimos por sus orígenes y trazamos paralelas (color magenta) a cada uno de ellos creando un paralelogramo.
Sumar más vectores no ofrece ninguna dificultad, es suficiente colocar el inicio del segundo vector a continuación del final del primero, inicio del tercero a partir del final del segundo y así, sucesivamente
Restar vectores
Para realizar esta operación basta sumar el primero con el opuesto del segundo.
En la última figura tienes los vectores a y su vector opuesto -a lo mismo que el vector c y su opuesto –c.
Recuerda que el opuesto del número 4 es -4. En el caso de los vectores basta cambiarles el sentido.
Para restar sumas al primer vector el opuesto del segundo:
Producto Escalar de Vectores
En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto (en inglés, dot product), es una operación binaria definida sobre dos vectores de un espacio euclídeano cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídeano tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclidiano real
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es u.v
Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.
Proyección de un vector sobre otro
Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es |A| cos θ = proy AB, será
de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.
Vectores paralelos o en una misma dirección
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.
Propiedades del Producto Escalar
- Conmutativa. A . B = B . A
- Distributiva. A . ( B + C ) = A . B + A . C
- Asociativa. m (A . B) = ( m A ) . B = A . (m B)
Producto Vectorial de Vectores
En Matemáticas, el producto cruz, producto vectorial, o producto vectorial de Gibbs es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Tiene muchas aplicaciones en las matemáticas, la física y la ingeniería.
Definición
Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial . El producto vectorial entre a y b da como resultado un nuevo vector, c. El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:
Producto vectorial de dos vectores
Sean los vectores concurrentes de V (Espacio Vectorial) , el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto:
Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):
Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de u x v es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:
Ejemplo
Propiedades
